Lambda and T12

衰变概率

衰变常数可以用于描述原子核的衰变几率，表示单位时间内发生衰变的概率。

半衰期与衰变常数关系

根据半衰期的定义： $$ N_t = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{\frac 1 2}}} $$

$$ \lambda = \frac{\mathrm{ln}(2)}{T_{\frac12}} $$

活度与不稳定核数量

$$ A=-\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} = \lambda N $$

数量计算

衰变常数: $\lambda$

0 时刻活度为 $A_0$

分支比为 $\epsilon$ ，能量为 $E$ 的伽玛测量计数为 $n$

测量时间为$t_1$ ~ $t_2$

活度积分

$t$ 时刻活度 $A$ 为： $$ A = A_0 \cdot e ^ {- \lambda t} $$

测量时间$t_1$ ~ $t_2$目标核衰变数量 $N_{measured}$ 为： $$ N_{measured} = \int_{t_1} ^{t_2} A \mathrm dt,\\ N_{measured} = \int_{t_1} ^{t_2} A_0 \cdot e ^ {- \lambda t} \mathrm dt,\\ N_{measured} = \frac {A_0} {\lambda} \left (e ^{-\lambda t_1} - e ^{-\lambda t_2} \right ) $$

$E$ 处探测效率 $\eta$ 为： $$ \eta = \frac {n}{N_{measured}\cdot \epsilon} $$

数量衰变

0 时刻放射性核数目 $N_0$ 为： $$ N_0 = \frac {A_0} {\lambda} $$

$t_1$ 时刻衰变剩余 $N_{t_1}$ 为： $$ N_{t_1} = N_0 e ^{-\lambda t_1}，\\ N_{t_1} = \frac {A_0} {\lambda} e ^{-\lambda t_1} $$

$t_2$ 时刻衰变剩余 $N_{t_2}$ 为： $$ N_{t_2} = N_0 e ^{-\lambda t_2}，\\ N_{t_2} = \frac {A_0} {\lambda} e ^{-\lambda t_2} $$

测量时间$t_1$ ~ $t_2$目标核衰变数量 $N_{measured}$ 为： $$ % N_{measured} = N_{t_1} - N_{t_2}\ N_{measured} = \frac {A_0} {\lambda} e ^{-\lambda t_1} - \frac {A_0} {\lambda} e ^{-\lambda t_2} $$

$E$ 处探测效率 $\eta$ 为： $$ \eta = \frac {n}{N_{measured}\cdot \epsilon} $$

其他

相同不稳定核，已知一片靶上活度，规避效率进行活度推算

测量开始时不稳定核数目： $$ N_d = \frac{area}{\left(1-e^{-\lambda t}\right)\cdot \eta\cdot \varepsilon} $$ 可以从已知活度的样品抽取一个$k$，有级联加和时$k$仅与衰变核种类相关，规避含加和的效率问题。 $$ N_d = k \cdot \frac{area}{\left(1-e^{-\lambda t}\right)}, k=\frac{1}{ \eta\cdot \varepsilon} $$ $$ k = \frac{N_d\cdot \left(1-e^{-\lambda t}\right)}{area} $$